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author: 松鼠 date: 2020-03-18

editdate: 2020-03-19

全都变成微分

2020 年 3 月 4 日，松鼠符号今日问： $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 可以改写成 $\dfrac{d\bigl(x \mapsto f(x, y)\bigr)}{dx}$ 吗？

“我觉得我这微积分下册是学不下去了。我要发动符号革命了！”这么说着，于是在高数课上设计出了多元函数偏微分的松鼠符号。

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}, z_{x}', z_{x} & \;\longrightarrow\; \frac{d\bigl((x\mapsto z)(x)\bigr)}{dx} \\\\ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0, y_0)}, z_{x}'(x_0, y_0), z_{x}(x_0, y_0) & \;\longrightarrow\; \left.\frac{d\bigl((x\mapsto z)(x)\bigr)}{dx}\right|_{\scriptstyle x = x_0 , \scriptstyle y = y_0}, \left.\frac{d\bigl((x\mapsto z|_{y = y_0})(x)\bigr)}{dx}\right|_{x = x_0} \end{aligned}$

这样定义之后，∂ 这个符号可以完全扔掉了。这样就能让一些迷惑人的东西原形毕露，比如某个不能约分的分式 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial P} = -1$ 。

在研究如何将传统偏微分符号转换成松鼠符号时突然发现，由于函数f只是一种对应关系，与自变量字母x完全没有关系，传统导数符号 $\dfrac{df}{dx}$ 和偏导数符号 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是无意义的。

2020 年 3 月 9 日，松鼠符号今日问：为什么往往只有偏导数和全微分，而不常说偏微分和全导数？（这个全导数不是那个全导数。）

越使用松鼠符号，就越能发现松鼠符号的优越性。分式终于可以正常约分了，老师再也不用担心我考试乱约分了。

2020 年 3 月 11 日，松鼠符号今日问：小问号，你是否在学习多元函数微分学时有许多朋友？先前不能随便约掉的 ∂x，突然之间，就形成了多元函数偏导数的链式法则： $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 。

我发现了：学微积分（2）的过程，就是不断研究改进松鼠符号的过程。等松鼠符号稳定下来后，就可以完全抛弃课本了。最好发起改革，屑符号是没有学的必要的！

我发现松鼠符号是有极限的。在我研究松鼠符号的时候，发现了一些用松鼠符号不能解释，但用屑符号可以解释的现象，那就是多元函数的链式法则。我觉得我找到了打开世界奥秘之门的钥匙！只要明白了多元函数链式法则如何用松鼠符号解释，就能精通微积分了。

就画一个松鼠吧。把所有d都变成松鼠：🐿️y/🐿️x =️ 🐿️y/🐿️u × 🐿️u/️🐿️x。

2020 年 3 月 13 日，松鼠符号今日问：用松鼠符号解释 TeXbook 中的练习 18.40 的公式， $\displaystyle \sum_{p\;\text{prime}} f(p) = \int_{t > 1} f(t)\,d\pi(t)$ 。

阅读 The TeXbook 时发现了一些用高等数学传统符号无法解释，用松鼠符号可以解释的公式。所以松鼠符号是非常优越的。（确信 ×2）

2020 年 3 月 16 日，松鼠符号今日问：如何用松鼠符号解释格林公式 $\displaystyle \oint_{C^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} dx\,dy\right)$ ？

我在第一层，我以为 akhia 学到了第二层，但是他问了我一道第五层的积分定理。不过根据我解决多元函数链式法则的经验，估计这里用的原理是类似的。我有信心，只要我学到这里，就能用松鼠符号给出简洁的表达形式；这个定理用松鼠符号就一点都不难懂了。等我学到第五层之后再写下去吧。

话说回来，格林公式的题目难做，这种说法我并不认同，因为虽然松鼠符号是我发明的，但是松鼠符号的题目也很难做。

我感觉上应该不需要推广松鼠符号就已经足够应付面积分了。我确立松鼠符号之后连推都没有推，就发现松鼠符号可以直接用在方向导数上，自动证明实在是太舒服了。

2020 年 3 月 18 日，松鼠符号今日问：dx dy和dy dx是同样的东西吗？

做极值练习的时候，第一次发现松鼠符号有与传统符号不一致的结果，但是这也让极值公式直接变成了 $\Delta = b^2 - 4ac \lesseqqgtr 0$ 的问题。这让我开始怀疑是不是传统记号一直以来蒙蔽了人们的双眼，而松鼠符号才是揭示微积分世界本质的钥匙？

akhia 问了我一道曲线积分和曲面积分里的题。我根本看不懂答案里用两个定积分的解法，但是意外地即使用只发展到一元函数积分学时的松鼠符号也完全可做，结果是一样的，而且还更快。这一事例再次印证了，松鼠积分号的自动推广可能性是存在的。——我什么都没有做，是它自己推广出去的！

我已经在要求使用偏微分的地方大量使用松鼠全桥微分法，做起来贼方便。

2020 年 3 月 19 日，松鼠符号今日问：dx² 与d²x是相同的吗？

在研究一元函数微分学的时候就已经发现松鼠符号能很成功地解释和证明微分的莱布尼兹公式（微分二项式定理）。但是对普通一元函数变量的d操作会带来意外的d²x项： $d^2(x^2) = d(2x\,dx) = 2\,dx^2 + \underline{2x\,d^2 x}$ 。这是否暗示着d²x应该为零？这仍是一个有待研究的问题。

2020 年 3 月 23 日，松鼠符号今日问： $\iint dx\,dy = \int (\int dx)\,dy = \int x\,dy$ 吗？如果确实如此，那么什么东西满足 $d(?) = x\,dy$ 呢？

重积分的定义与一元函数的积分并无二致，符号也十分讲究逻辑，但是似乎用这套符号很难进行重积分的计算，必须通过图形感知化归到一元函数的积分。

2020 年 3 月 31 日，松鼠符号今日问： $d^2(xy) = d\bigl(d(xy)\bigr) = d(dx\,y + x\,dy) = 2\,dx\,dy$ 照理说应该是正确的。但是，xy的混合偏导数却是 1。

似乎高阶微分还有更多值得探索的地方。不像锑度所说，二重不定积分其实是存在的。对二元函数两次d算子操作产生的类二次三项式也可以套用判别式。函数的连续性似乎意味着dx与dy的交换律是否成立。

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